前言

贝塞尔曲线、B-spline 和 NURBS 都是计算机图形学、CAD 和几何建模里非常基础的曲线表示方法。它们的共同点是：曲线不是逐点手工画出来的，而是由一组控制点间接定义。

下面只讨论二维情况。为了直观起见，本文不追求完整理论，只用三个最小交互 demo 展示它们的核心差异：贝塞尔曲线由一整组控制点整体控制，B-spline 更强调局部控制，NURBS 则在 B-spline 的基础上进一步加入权重。

贝塞尔曲线

一条三次贝塞尔曲线由四个控制点 $P_0, P_1, P_2, P_3$ 决定：

B(t)=(1-t)^3P_0+3(1-t)^2tP_1+3(1-t)t^2P_2+t^3P_3,\quad t\in[0,1]

其中 $P_0$ 和 $P_3$ 是曲线的起点和终点， $P_1$ 和 $P_2$ 主要影响曲线的切向和弯曲方式。贝塞尔曲线的一个直观特点是：控制点共同影响整条曲线。

贝塞尔曲线可以从反复线性插值得到。设线性插值为：

L(A,B;t)=(1-t)A+tB

对四个控制点先做第一层插值：

Q_0=L(P_0,P_1;t),\quad Q_1=L(P_1,P_2;t),\quad Q_2=L(P_2,P_3;t)

再做第二层插值：

R_0=L(Q_0,Q_1;t),\quad R_1=L(Q_1,Q_2;t)

最后得到曲线点：

B(t)=L(R_0,R_1;t)

把上面的插值式展开，就得到三次贝塞尔曲线的 Bernstein 形式：

B(t)=(1-t)^3P_0+3(1-t)^2tP_1+3(1-t)t^2P_2+t^3P_3

三次贝塞尔曲线：拖动黄色控制点，观察整条蓝色曲线如何变化。

B-spline 也由控制点定义，但它额外引入了次数和节点向量。直观理解是：曲线被分成若干段，每一段只受附近几个控制点影响。

一个 B-spline 可以写成：

C(t)=\sum_i N_{i,p}(t)P_i

其中 $P_i$ 是控制点， $p$ 是曲线次数， $N_{i,p}(t)$ 是由节点向量决定的基函数。下面的 demo 使用二次 B-spline，节点向量为：

[0,0,0,0.25,0.5,0.75,1,1,1]

B-spline 最值得注意的是局部性：移动某个控制点时，通常只会明显影响曲线附近的一部分，而不是整条曲线。

B-spline 的核心是基函数。给定节点向量：

U=[u_0,u_1,\ldots,u_m]

零次基函数是分段常数：

N_{i,0}(t)= \begin{cases} 1, & u_i\le t<u_{i+1} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

更高次数的基函数由 Cox-de Boor 递推公式得到：

N_{i,p}(t)= \frac{t-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(t)+ \frac{u_{i+p+1}-t}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(t)

把这些局部基函数作为权重加到控制点上，就得到 B-spline 曲线：

C(t)=\sum_i N_{i,p}(t)P_i

因为 $N_{i,p}(t)$ 只在有限区间 $[u_i,u_{i+p+1})$ 内非零，所以每个控制点通常只影响曲线的一小段，这就是 B-spline 的局部控制性来源。

二次 B-spline 曲线：拖动黄色控制点，观察红色曲线的局部变化。

NURBS 是 Non-Uniform Rational B-spline 的缩写，可以理解为“带权重的有理 B-spline”。它仍然使用 B-spline 基函数，但给每个控制点额外分配一个权重 $w_i$ ：

C(t)=\frac{\sum_i w_i N_{i,p}(t)P_i}{\sum_i w_i N_{i,p}(t)}

也可以写成有理基函数形式：

R_{i,p}(t)=\frac{w_iN_{i,p}(t)}{\sum_j w_jN_{j,p}(t)},\quad C(t)=\sum_i R_{i,p}(t)P_i

当所有权重都等于 $1$ 时，NURBS 就退化为普通 B-spline。某个控制点的权重越大，曲线越容易被拉向该控制点。NURBS 在 CAD 中非常重要，因为它不仅能表示自由曲线，也能精确表示圆弧、圆锥曲线等几何对象。

NURBS 可以从齐次坐标理解。把二维控制点 $P_i=(x_i,y_i)$ 扩展为带权重的齐次点：

\tilde P_i=(w_ix_i,w_iy_i,w_i)

先在齐次空间里做一条普通 B-spline：

\tilde C(t)=\sum_i N_{i,p}(t)\tilde P_i

设 $\tilde C(t)=(X(t),Y(t),W(t))$ ，再投影回二维平面：

C(t)=\left(\frac{X(t)}{W(t)},\frac{Y(t)}{W(t)}\right)

把 $X(t)$ 、 $Y(t)$ 和 $W(t)$ 展开，就得到前面的 NURBS 有理形式。

P0 权重 1.0 P1 权重 1.0 P2 权重 3.0 P3 权重 1.0 P4 权重 1.0

二次 NURBS 曲线：拖动黄色控制点，或调节权重，观察紫色曲线如何被高权重控制点吸引。

贝塞尔曲线形式简单，适合描述单段曲线；B-spline 更适合描述由多段平滑拼接而成的复杂曲线；NURBS 在 B-spline 的基础上加入权重，因此表达能力更强。简单来说：